失業保険について現在求職中で失業保険を頂いてますが就職が決...

失業保険について
現在求職中で失業保険を頂いてますが就職が決まりません。毎月３～４回はハローワークに出向いて閲覧し探してます。
来年の２月で給付が終了してしまいますが延長して頂くのは可能なのでしょうか？決まらないから延長というのは病気等と違い
正当な理由としては認められないのでしょうか？ご存知の方ご教授願います。

もともと何か正当な理由があったら延長するという制度はないですよ。病気だったとしても追加はされません（給付期間が延長できるだけでもらえるものは同じ）

訓練延長はあります（職業訓練を受けている場合に、終了まで失業手当と同じ額、あと交通費などが支給される）
次だと1月開始があるかと思います。訓練開始日時点で残日数3分の1以上かもともと90日の人は1日でも残っていれば、訓練期間はもらえます

個別延長対象者であれば最後の認定日に言ってもらえます（追加60日）

雇用保険の求職活動実績にはどのようなものがあるのでしょうか？英検受験、日本語教師養成講座の無料セミナーでもよいのでしょうか？またそれは、自分で報告するだけでよいのでしょうか？
それとも証明書を発行してもらわねばならないのでしょうか？詳しい方教えてください。

参考なるかどうかわかりませんが、
ハローワーク主催のセミナーはOKです。また関連機構などのセミナーもOKです。
求職支援セミナー、面接対応習得セミナー等です。（面接官対するときの入室から、受け答え、言葉使いなどを学びます）
其の場合、主催者の押印が必要です。

また、当時、市の主催簿記講座を受講したのですが、こちらは不可と言われました。

ですので
英検受験、日本語教師養成講座の無料セミナーは、ハロワで確認を取られた方が良いでしょう。

最近まで働いていた会社で雇用保険に入っていませんでした。
次の職に就く場合どうやって
自己都合で辞めたか、会社都合で辞めたか証明すればいいのでしょうか・

雇用保険未加入なら新しい会社に言えば特に必要な書類はありません。ただし雇用保険被保険者証の発行手続きをするために年金手帳や運転免許証のコピーが必要になると思います。