現在、尿管結石を患っているのですが、これを理由に退職するのはありでしょうか？

今の職場ではストレスが溜まる毎日で、苦手な上司もいます。
会うとビクビクしてしまうので怒鳴られた事が
トラウマになっているんだと思います。

また先輩が丸投げした仕事を私がやる羽目になり、それもストレスになっています。

以上の理由から尿管結石を理由に退職したいのですが上手い言い方はないでしょうか？

尿管結石を理由に退職は難しいでしょう。
ただ、ふつうに考えれば、貴方が辞めたければ仕事は退職できるのでは？「職業選択の自由」それは権利ですから。

新たに社員を雇う場合に受けられる雇用に関して助成金をうける制度があると聞きましたがなんと言う制度ですか？

新規の雇い入れに関しては様々な助成金があります。
代表的な助成金を列挙しますと・・・

・特定求職者雇用開発助成金
・試行雇用奨励金
・若年者等正規雇用化特別奨励金
・派遣労働者雇用安定化特別奨励金
・実習型雇用支援事業に関わる助成金
・介護未経験者確保等助成金
・新卒者体験雇用奨励金

等が該当するのではないかと思います。
それぞれの助成金の支給に関しては要件があるので
事業所を所轄するハローワークでご確認願います。

補足について。

支給申請の際に提出する書類が若干あるので、それらを
揃えるのが面倒であるなら依頼してもいいとは思いますが、
そんなに難しいものではないので労働法令をある程度理解
していれば依頼しなくても問題ないレベルであると思います。

失業手当について
平成２１年４月６日から勤務していた会社を平成２３年８月３１日付で退職し、ハローワークに離職票を提出し、もろもろの手続きを行なっておりました。
が、１０月１日から派遣で仕事が決まり、勤務しておりましたところ、８月に遭った交通事故の後遺症で仕事が続けられなくなりました為、１１月３０日で雇用打ち止めという形になってしまいました。
そこで質問です。
派遣会社でも雇用保険に入っていた場合、この２ヶ月という就労期間でも失業保険の受給は可能なのでしょうか？

雇用保険の「引き継ぎ」という言葉を耳にしたのですが、それは一度離職票を提出してしまうとできなくなると聞き、
私の場合は一度ハローワークに出向いているし、就職の際引継ぎの手続きをしていないのでこれは不可能だと思いますが…。

引継ぎはしていないし、就労期間は短いしでどういう扱いになるのだろうかと思いまして…

過去に１２ヶ月就労している事実があれば認められるという話も聞いたのですが、なんだかよく理解できず終いでして。。
どなたかお知恵をお貸しいただけると幸いでございます。

元々、職安で手続きをしておきながら就職が決まったからといって放置したのが良くありませんね。でも終わった事は仕方ないので・・結論は、来年８月末までの間（前の職場を辞めてから１年間受給資格がありますので）失業給付を受けることが出来ますので、派遣会社で加入していた２か月間の離職票（喪失証明書）を貰って、それを持参のうえ職安に出向いて再手続きして下さい。もろもろの手続きで既に受給資格者証が発行されてるのでしたらそれも必要となります。また、あくまでも２年４カ月勤めていた会社での受給資格での再開となります。（今の会社でのものは期間が短いので受給資格がつきません）後遺症で仕事が継続不能・・とありましたが、医師の方から軽度な就労でも可能との証明があれば再手続きできますが、就労不能であれば可能になるまで手続きできないことも考えられます（職安サイドから確認される可能性があるということ）

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